I Objeción:
1) La extensión debe ser divisible al infinito, porque el sistema de los puntos matemáticos es absurdo.
1.1) El sistema de los puntos matemáticos es absurdo, porque el punto matemático es algo sin existencia.
1.2) Los puntos matemáticos no puede formar una existencia real por su unión con otros.
2) La extensión debe ser divisible infinitamente. (Por: 1-1.2)

Respuesta:
1) Esto (2) seria decisivo si no existiera un término medio entre la infinita divisibilidad de la materia y la inexistencia de los puntos matemáticos.
2) Existe tal término: Dotar de color o solidez a estos puntos.
2.1) Por la verdad y realidad de este término se denota el absurdo de los extremos. (Por: T.N.H, I, 2, III)
3) El sistema de los puntos físicos es otro término medio.
3.1) El punto físico posee una extensión real.
3.2) Una extensión real no puede existir sin partes diferentes entre sí.
3.3) Siempre que los objetos son diferentes son distinguibles y separables.
4) El sistema de los puntos físicos no puede ser el término medio. (Por: 3.1-3.3)

II Objeción:
1) Un átomo simple e indivisible no posee parte alguna.
1.1) Un átomo indivisible que toca a otro debe necesariamente penetrarlo, por la imposibilidad de tocarle en sus partes externas.
1.2) Debe tocarle íntimamente y en su esencia total.
2) La penetración es imposible.
2.1) Los puntos matemáticos son igualmente imposibles.

Respuesta:
1) La penetración es el aniquilamiento de un cuerpo por su contacto con otro.
1.1) Antes del contacto tenemos la idea de dos cuerpos.
1.2) Después del contacto tenemos sólo la idea de uno.
1.3) No puede distinguirse cuál es el cuerpo conservado y cuál el aniquilado.
1.4) Es imposible mantener una noción de diferencia entre dos cuerpos de la misma naturaleza existiendo en el mismo lugar y tiempo.
2) De un punto coloreado o tangible unido con otro resulta un objeto compuesto.
2.1) Cada punto coloreado o tangible del compuesto conserva su existencia, no obstante de su contigüidad con otros.
3) La penetración no tiene lugar entre los puntos coloreados o tangibles.
4) La debilidad e inestabilidad de nuestra imaginación y sentidos sobre tales objetos diminutos, es lo que da origen a las objeciones en este respecto.

III Objeción:
Postulados generales:
1) Un punto no tiene longitud, ni anchura ni profundidad.
2) Esto (1) es ininteligible partiendo de otro supuesto que no sea la composición de la extensión por puntos o átomos indivisibles.
Problema: ¿Cómo de otra manera podría existir algo sin longitud, latitud, profundidad?

Objeción a) (o 1ª solución al problema):
1a) Los objetos de la geometría (superficies, líneas y puntos) son meras ideas del espíritu.
1.1a) No existen porque ninguno puede trazar una línea que concuerde enteramente con la definición.
1.2a) No pueden existir jamás porque partiendo de estas ideas se puede demostrar que son imposibles.
2a) No existen y no pueden existir jamás en la naturaleza. (Por: 1.1a y 1.2a)

Replica a la objeción a):
1) Todo lo que puede ser concebido por una idea clara y distinta implica necesariamente la posibilidad de existencia.
1.1) No se puede pretender probar su inexistencia por un argumento derivado de la idea clara. Ya que:
1.2) Se afirmaría en realidad que no tenemos una idea clara de ello porque tenemos una idea clara.
2) Es vano buscar una contradicción en algo que se concibe distintamente por el espíritu. (Por: 1.1 y 1.2)
3) Si implicara una contradicción sería imposible concebirlo alguna vez.
4) No puede concederse la posibilidad de los puntos indivisibles y la negación de sus ideas, como tampoco conceder un término medio entre éstas.

Objeción b) (o 2ª solución al problema):
1b) Es imposible concebir la longitud sin alguna latitud, pero por una abstracción sin separación, podemos considerar la una sin tener en cuenta la otra.

Replica a la objeción b):
1) Una superficie limita un sólido, una línea a una superficie, un punto a una línea.
2) Si las ideas de punto, línea o superficie no fueran indivisibles sería imposible concebir estas limitaciones.
Demostración de 2:
2.1) Si dichas ideas son divisibles infinitamente y la fantasía trata de fijarlas en la idea de superficie, línea o punto, la idea se desharía en partes, y estas partes en otras, y así infinitamente.
2.1.1) El número de fracciones no la llevaría más cerca de la última división que la primera idea que se ha formado.
2.2) Debe de existir algo indivisible que termine la idea de toda cantidad finita.
2.3) Las ideas de superficies, líneas y puntos no admiten ninguna división o reducción de unas a otras.

Objeciones de Hume a las definiciones matemáticas:
I
Problema: ¿Qué entienden los matemáticos al decir que una línea o superficie es igual a otra o mayor o menor que otra?

1ª respuesta:
1) Las líneas o superficies son iguales cuando el número de puntos de cada una es igual al de la otra.

Replica a la 1ª respuesta:
1) Los puntos que componen una línea o superficie, visibles o tangibles son diminutos y se confunden unos con los otros.
1.1) Es imposible para el espíritu contar su número.
1.2) Jamás determinamos por tal comparación que los objetos sean iguales o desiguales los unos de los otros.
2) Una numeración tal no nos aporta un criterio para juzgar las proporciones. (Por: 1-1.2)
3) Si la extensión es infinitamente divisible no podrá ser criterio de igualdad porque cualquier cantidad de extensión tendría infinitas partes, no susceptibles de ser contables.

2ª respuesta:
1) La igualdad es la congruencia entre dos figuras colocándolas unas sobre otras y correspondiéndose y tocándose todas y cada una de sus partes.

Replica a la 2ª respuesta:
1) Para concebir la igualdad entre dos figuras debemos tener una distinta noción de sus partes y concebir su contacto.
1.1) Debemos recorrer estas partes hasta las partes más pequeñas que puedan ser concebidas.
1.1.1) Las partes más pequeñas que podemos concebir son los puntos matemáticos.
1.2) Este criterio de igualdad es el mismo que el del conteo de puntos.

3ª respuesta (respuesta de Hume):
1) Es suficiente presentar dos objetos que son iguales para darnos una idea precisa de su relación.
1.1) Cuando percibimos objetos iguales no se necesita una definición de igualdad.
2) La única noción útil de igualdad y desigualdad se deriva de la apariencia y de la comparación de objetos particulares.
2.1) Existen tres relaciones distinguibles en la apariencia general de los objetos: más grande, más pequeño e igual.
3) Corregimos frecuentemente este tipo de juicios por la revisión, reflexión y yuxtaposición de los objetos o cuando es impracticable por el uso de una medida común.
4) El espíritu al acostumbrarse a estos juicios y a sus correcciones, se forma una noción mixta de la igualdad derivada de los métodos indeterminados y estrictos de comparación.
4.1) La noción mixta es la idea independiente de un criterio perfecto, que nos formamos por las continuas correcciones.
Demostración de 4.1:
a1) Nada es más manifiesto para los sentidos que la distinción entre línea recta y curva.
a1.1) No existen ideas que podamos formarnos más fácilmente que la de estos objetos.
a2) Cuando trazamos líneas existe un cierto orden, en el cual las líneas pasan de un punto a otro que pueden producir la impresión de una línea recta o curva.
a3) Este orden es desconocido y sólo es observado la apariencia unitaria.
a3.1) No podemos dar una definición perfecta de éstas líneas ni producir un método exacto para distinguir unas de otras.
a3.2) Podemos corregir la primera apariencia por una consideración más exacta y por la comparación con una regla de cuya exactitud tenemos una mayor seguridad.
a4) De estas correcciones nos formamos la idea de un criterio perfecto de estas líneas, aun sin ser capaces de explicarlo y comprenderlo.

II
Problema:
0) La línea es la distancia más corta entre dos puntos.

1ª replica:
1) Es más propiamente una de las propiedades de la recta que una definición de la recta.
1.1) Al mencionar la línea recta no se piensa inmediatamente en una aparición tal (0).
1.2) Una aparición tal (0) se piensa accidentalmente.
2) Se considera que (0) es una propiedad de la recta, no su definición (Por: 1.1 y 1.2).

2ª replica:
1) No tenemos una idea exacta de igualdad o desigualdad, de más corto o más largo, ni de la línea curva o recta.
1.1) Lo uno no puede darnos un criterio para lo otro.
2) Una idea exacta no se construye sobre otras que sean indeterminadas e inconexas. (Por: 1 y 1.1)

ORSET2 (T.N.H. Libro I, Parte 2, Secc. V)

Tres objeciones:
O1. Las largas discusiones de filosofías sobre pleno y vacio sin llegar a una conclusión.
PB.1. Todas las ideas tienen una impresión antecedente, y sólo esa idea será idéntica a la impresión difiriendo sólo en vivacidad.
P1.Refutar y defender la idea de vacio es imposible y absurdo, si no se tiene en cuenta la impresión de vacío.
CB.1 No hay impresiones de vacío, por lo tanto no hay ideas de vacío. (PB.1)

O2. La realidad de la idea de pleno y también vacio.
PB.1. Todas las ideas tienen una impresión antecedente, y sólo esa idea será idéntica a la impresión difiriendo sólo en vivacidad.
P.1 Toda idea que es posible, es consecuencia necesaria e infalible de otras que son posibles.
PB.2 Toda idea distinta es distinguible y por lo tanto separable.
P.2 Por tanto, la existencia se concede como separable.
C.3 La existencia de una partícula no implica la existencia de otra partícula. (Por: P.2 y PB.1)
C. 4 La idea de vacio no es el contacto de partes, sino tomada por aniquilación y reposo.

O.3 No sólo se afirma que la idea de vacio es real y posible, sino también que es necesaria e inevitable, pues por ella es posible el movimiento.
[>No se da respuesta a esta objeción pues corresponde principalmente a la filosofía natural. Su empresa es solo sobre el entendimiento humano y que nosotros no podemos jamás pretender conocer otra cosa más que las propiedades externas de estas que se presentan a los sentidos.]

Objeciones sobre otras ideas de vacío:
P.3 La idea de oscuridad es negativa, ya que niega a la luz y con ello a los puntos coloreados.
C.5 Por tanto, la idea de oscuridad no puede ser el vacio.
P.4 Se concibe que la visión directa por sí sola, dé una perspectiva plana de las cosas reales existentes.
P.5 En ambiente de oscuridad total es imposible percibir la idea de objetos.
P.6 Por el tacto percibimos una cosa extensa, y la diferenciamos cuando hay movimiento y no se percibe cosa extensa.
C.6 La idea de existencia sólo puede ser percibida y dar impresión de ella en tacto y visión.
C.5 Por lo tanto, visión como tacto y movimiento es imposible dar cuenta de una idea de vacío.
C.6 Sin embargo, habiendo relaciones entre movimiento, oscuridad y extensión real o composición tangible. Entramos en el error de crear una idea de vacío.
P.7 Es una máxima general: que siempre que existe una íntima relación entre dos ideas, la mente es muy propensa a equivocarse y tomar en sus razonamientos la una por la otra. Por asociaciones de semejanza y causalidad.
C.7 Hay una dependencia de lo real ante las explicaciones o razonamientos de ello.

Sobre la idea de existencia y existencia externa (T.N.H. Libro I, Parte 2, Secc. VI):

CB.1 Todas las ideas tienen una impresión antecedente, y sólo esa idea será idéntica a la impresión difiriendo sólo en vivacidad.
Deriva un Dilema de la idea de existencia: la idea de existencia o debe ser derivada de una impresión distinta unida con cada percepción u objeto de nuestro pensamiento, o debe ser la misma idea que la idea de la percepción u objeto.
CB.2 Toda idea diferente, es distinguible y por lo tanto separable.
C.1 No se puede pensar que existen dos impresiones distintas que están unidas inseparablemente.
C.2 La idea de la existencia no se deriva de una impresión particular.
C.3 La idea de existencia es lo mismo que la idea que concebimos siendo existente. Siendo que todo lo que concebimos lo concebimos como existente.